ley del coseno

La ley del coseno es una expresión que te permite conocer un lado de un triángulo cualquiera, si conoces los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que quieres conocer.
Cualquier lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de las longitudes de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos.

Dados dos lados y el ángulo incluido de un triángulo, podemos usar la ley de los cosenos para hallar el tercer lado;para eso recurrimos a la ley de los senos para encontrar otro ángulo del triángulo.siempre que se siga este procedimiento. es mejor determinar el ángulo opuesto al lado más corto. ya que siempre es agudo. De este modo evitamos la posibilidad de obtener dos soluciones cuando se resuelve una ecuación trigonométrica que comprende ese ángulo.

EJEMPLO coseno (LAL)
calcula las partes restantes del triángulo ABC si a=5.0 c=8.0 y β=77º.
SOLUCIÓN 

como β es el ángulo entre los lados a y c. comenzamos por calcular b (lado opuesto a β):

b^2= a^2+c^2- 2ac cos β
       =(5.0) ^2 +(8.0) ^2 -2 (5.0)(8.0)cos 77º
       =89-80 cos77º =71.0

     β= √71.0 = 8.4

Ahora encontremos otro ángulo del triángulo mediante la ley de los senos. De acuerdo con las obsevarciones de este ejemplo, aplicaremos la ley de los senos y hallaremos α,  puesto que es el ángulo opuesto al lado más corto,el cual es α.

sen α = senβ

  a            b

sen α =a senβ

                 b

           =5.0 sen 77º  = 0.5782

                 √71.0

como  α es agudo,

 α= sen ^ -1(0.5782)=35.3º=35º

Dados los tres lados de un triángulo, se puede usar la ley de los cosenos para hallar cualquiera de los tres ángulos. siempre encontraremos primero el ángulo más grande;es decir, el ángulo opuesto al lado mas largo, ya que esta práctica garantizará que los ángulos restantes sean agudos. Luego se puede encontrar otro ángulo del triángulo aplicando la ley de los senos o la de los cosenos.

EJEMPLO coseno(LLL)

si el triángulo ABC tiene lados a=90, b=70 y c=40, calcula los ángulos α, β y γ al grado mas cercano.

SOLUCIÓN 

De acuerdo con la observación previa, primero se encuentra el ángulo opuesto al lado más largo a; por lo tanto, se escoge la forma de la ley de los cosenos donde aparece  α; por lo tanto, se escoge la forma de la ley del coseno donde aparece  α:

    a^2=b^2 + c^2 -2bc cos  α

cos  α= b^2 +c^2 -a^2

                      2bc

          =70^2+40^2-90^2 = -2

                  2(70)(40)            7

α= cos ^-1 (-2/7)= 106.6º=107º

En estas condiciones se puede usar la ley de los senos o la de los cosenos para hallar β. Usemos la ley de los coseno:

 b^2 =a^2+c^52-2ac cos β

cosβ=a^2+c^2-b^2

                2ac

=90^2+40^2-70^2= 2
        2(90)(40)          3

β=cos^-1(2/3)=48.2º=48º

En este punto de la solución podemos encontrar γ usando la relación α +β + γ=18. Pero si alguno de α o βse calculó erróneamente, entonces γ y luego comprobar que la suma de los tres ángulos es 180º. así:

cosγ=a^2+b^2-c^2 , de modo que γ=107º+48º+25º=180º

                   2ab